Родился 11 октября 1940 года в Ташкенте. Его отец — Магомет Ташевич Уразбаев был учёным в области механики, профессором, доктором технических наук, академиком АН Узбекской ССР, академиком Академии строительства и архитектуры СССР, заслуженным деятелем науки и техники Узбекской ССР, лауреатом Сталинской премии, ректором Ташкентского политехнического института, мать — Мукамбар Усмановна — врач-офтальмолог. Кроме него в семье было ещё трое детей: Эркен, Шухрат и Эльмира.

В 1963 году окончил механико-математический факультет МГУ. После окончания университета вернулся в Ташкент и до 1968 года работал в Институте кибернетики АН Узбекской ССР в лаборатории «Новые элементы ЭВМ».

Эльдор Уразбаев и другие сотрудники лаборатории «Новые элементы ЭВМ» Института кибернетики АН Узбекской ССР (слева направо: Г. Нурмухамедов, Э. Уразбаев, Н. Суюншкалиев, Б. Мосолов), 1967 год
В 1972 году окончил Высшие курсы сценаристов и режиссёров (мастерская А. А. Алова и В. Н. Наумова).

Работал ассистентом режиссёра в группе Ш. К. Айманова на киностудии «Казахфильм». После смерти Ш. Айманова снял продолжение его фильма «Конец атамана» — «Транссибирский экспресс» по сценарию А. А. Адабашьяна, Н. С. Михалкова и А. С. Кончаловского.

С 1979 года из студии «Казахфильм» перебрался на ЦКДЮФ имени М. Горького, где выпустил фильмы «Фрак для шалопая» (1979), «Инспектор ГАИ» (1982, совместно с О. Н. Ефремовым), а также ряд других картин.

В 1982 году вступил во второй брак с актрисой Н. У. Аринбасаровой, которую снимал в «Транссибирском экспрессе».

С 1982 года — руководитель Первого творческого объединения киностудии имени Горького, с 1987 года — художественный руководитель творческого объединения ТВК (телевидеокино) этой же студии.

В 1987 году выпустил сериал «Визит к Минотавру» по роману братьев Вайнеров с С. К. Шакуровым, А. Г. Филиппенко, Р. Я. Пляттом, В. И. Гафтом, В. Г. Смирнитским и другими известными актёрами.

В 1995 году Уразбаев стал членом правления ЦКДЮФ имени М. Горького.

В начале 2000 годов снимал сериалы на телевидении.

В 2010 году c новой женой Аллой уехал в США. Жил и лечился от тяжёлой болезни в Денвере, штат Колорадо, где и умер 21 февраля 2012 года на 72-м году жизни.