Родители Татьяны не были связаны с кино. В 10 лет она случайно попала на съёмочную площадку: в школу пришёл режиссёр Александр Митта, который искал актёров для эпизода в фильме «Звонят, откройте дверь». Во время съёмок на неё обратил внимание режиссёр Евгений Шерстобитов, который утвердил её на главную роль в картине «Акваланги на дне» (1965). 

Когда Татьяна училась в 10 классе, Александр Роу пригласил её на пробы в свою сказку «Огонь, вода и медные трубы», но из-за того, что она выглядела младше своего возраста, роль получила Наталья Седых. Роу пообещал Клюевой главную роль в своём следующем проекте и выполнил обещание: в 1968 году пригласил её на роль Варвары-красы в фильме «Варвара-краса, длинная коса». Эта работа принесла ей всесоюзную известность. 

В 1974 году Татьяна окончила ГИТИС. Однако после съёмок в «Варваре-красе…» она решила отказаться от карьеры актрисы, вышла замуж за морского офицера Дмитрия Гагина и переехала с ним в Севастополь.

В фильмографии актрисы около 10 работ, среди них: «Самый сильный» (1973), «Встретимся у фонтана» (1976), «За кем замужем певица?» (1988), «Остров любви» (1995). 

После завершения кинокарьеры Клюева работала завклубом таксопарка, в бюро знакомств, торговала на рынке. Была председателем Севастопольского представительства Союза кинематографистов России, а в 2015 году возглавила Императорский фонд сохранения исторического и культурного наследия в Севастополе и Крыму. 

Первый муж — актёр Тимофей Спивак (студенческий брак). В 1976 году у Татьяны родился сын Ян, которого позже второй муж актрисы усыновил. 

Второй муж — Дмитрий Степанович Гагин, военный моряк, капитан 1-го ранга. В 2021 году он умер. 

В 2022 году имя Татьяны Клюевой вновь оказалось в центре внимания в связи с судебными разбирательствами с сыном, который, по её словам, незаконно лишил её имущества.