Анатолий Михайлович Адоскин родился 23 ноября 1927 года в Москве.

В 1948 году окончил студию при Театре имени Моссовета под руководством Юрия Завадского. По окончании был приглашён в труппу театра.

В 1961 году перешёл в труппу театра «Современник». В 1965 году был приглашён в театр имени Ленинского комсомола, а в 1968 году вернулся в Театр имени Моссовета.

Жена — Ольга Георгиевна Тарасова (род. 1927), балерина, балетмейстер и педагог ГИТИСа, племянница актрисы Аллы Тарасовой. В браке с 1944 года и по день смерти артиста. Дочь — Мария, учительница английского языка.

Анатолий Михайлович Адоскин скончался 20 марта 2019 года в Москве на 92-м году жизни. Гражданская панихида прошла 23 марта в Театре имени Моссовета, похоронили актёра на Донском кладбище Москвы (4 участок).