Алексей Сергеевич Эйбоженко окончил Театральное училище имени М.С. Щепкина (1957, курс В.Н. Пашенной, И.В. Полонской и Н.М. Гладкова). С 1957 года - актёр Воронежского драматического театра имени А.В. Кольцова. С 1959 года - артист Московского театра драмы и комедии на Таганке. С 1964 года - артист Академического театра имени Владимира Маяковского. С 1967 года - артист Академического Малого театра.